Öklid

Matematik, insana “bence” ile başlayan cümleler kurmayı öğretir!

Yrd. Doç. Dr.  Bülent ALTUNKAYA 

Ahi Evran Üniversitesi 

Eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi

“Medeis ageometretos eisito mou ten stegen.”

Yukarıdaki cümle insanlık tarihinin en büyük dehalarından bi-

rinin okulunun girişine astırdığı yazıdır. Türkçeye şöyle çevrile-

bilir: “Geometri bilmeyen bu kapıdan giremez.” Gerçeğin kilidi-

ni açacak anahtarın aritmetik ve geometri olduğunu söyleyen 

ve Tanrının da bir matematikçi olduğuna inanan ünlü düşünür 

Platon’un, elbetteki bu sözü söylerken kastettiği şey, üniversi-

te sınavında matematik ve geometri testinde sorulan 80 soru-

yu “full yapmak” değildir. 

Bu eleme mekanizmasını anlamak için geometrinin (doğal 

olarak matematiğin de) yöntem olarak neyi temsil ettiğini al-

gılamak önemlidir. Matematikte ulaştığımız sonuçlar önem-

li olmakla beraber bir problemin doğru tanımlanması, bu so-

nuçlara ulaşmak için bulduğumuz yöntemlerin temel kabulle-

rimizle çelişmemesini sağlamak, problem çözme basamakları 

arasındaki ilişkiyi doğru kurmak da önemlidir. Bu da bizi anali-

tik düşünme kavramına götürür.

Analitik düşünme, çözümlemeye dayanan düşünme şeklidir. 

Problemi çözen kişi düşünülen nesneyi parçalara ayırır ve par-

çaların özelliklerini kullanarak mantıksal bağlantılarla bütüne 

varmaya çalışır. Analitik düşüncenin en güzel örnekleri mate-

matikte görülür. Çünkü matematik aksiyomlardan yani 

doğru 

olduğu herkes tarafından kabul edilen önermelerden oluşur.

Matematik bu aksiyomlardan inşa edilir. Matematiksel bir 

önermenin doğruluğu, önermenin bu aksiyomlara indirgene-

bilirliğine (parçalanabilirliğine) bağlıdır. Tabii ki analitik düşün-

me hayatın her alanında uygulanabilir, burada dikkat edilmesi 

gereken şey aksiyomların doğru şekilde kullanılmasıdır. Mate-

matiğin diğer alanlardan farkı, aksiyomların herkes tarafından 

kabul edilmesidir. Örneğin Öklid, geometrisini kurarken aşağı-

daki beş aksiyomun doğruluğunu kabul ederek işe başlar:

1-  Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler.

2- Eşit şeylere eşit şeyler eklenirse toplamlar eşit olur.

3- Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa kalanlar eşit olur.

4- Birbiriyle çakışan şeyler, birbirleriyle eşittir.

5- Bütün parçasından büyüktür.

Bu aksiyomların herkes tarafından doğruluğu kabul edilecek-

tir. Öklid, Elements (Öğeler) kitabında, bu aksiyomlara başka 

bazı tanım ve postulatlar yani doğruluğu mantıki olarak ka-

bul edildiği halde, doğruluğu da yanlışlığı da ispatlanamayan 

önermeler ekler.    

Öklid’in beş temel postulatı şöyledir:

1- İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.

2- Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.

3- Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.

4- Bütün dik açılar eşittir.

5- Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir pa-

ralel  çizilebilir.

Öklid’in bazı temel tanımları şöyledir:

Tanım: 

Nokta parçası olmayan bir şeydir.

Tanım: 

Doğru genişliği olmayan bir uzunluktur.

Tanım: 

Dik açıdan büyük olan açılara geniş açı denir.

Tanım: 

Dik açıdan küçük olan açılara dar açı denir.

Daha sonra da bu aksiyom, tanım ve postulalar çerçevesinde 

tümdengelimlerle teoremlerini ispatlar. Amacımız geometri 

öğretmek olmadığından bu basamakların her birinin ne kadar 

önemli olduğunu bazı örneklerle açıklayalım. Örneğin anali-

tik düşünürken herhangi bir basamağı atlayarak sonuca ulaş-

mak çok önemli yanlışlara sebep olur. Aşağıdaki hikaye buna 

bir örnek olabilir:

Makale

AHİ

EVRAN

AKTÜEL 

40